Théorie moderne du portefeuille

matrice variance covariance

Après avoir défini les deux concepts de risque et de rendement, ainsi que les outils utiles à leur mesure, nous allons voir quels sont les modèles de gestion existants permettant d’optimiser ce couple rendement/risque. Nous allons commencer par nous appuyer sur la théorie moderne du portefeuille qui sert de référence en gestion d’actifs.

La théorie moderne du portefeuille repose sur une sélection d’actifs financiers pour laquelle la rentabilité sera maximale pour un niveau de risque minimum.

Les relations de corrélations entre les différents titres d’un portefeuille sont au centre de cette théorie. En effet, Markowitz met en ainsi en avant le principe de diversification. L’investisseur devra s’appliquer à diversifier son portefeuille sur des valeurs qui ont des rendements tels, qu’ils ne vont pas entraîner des fluctuations importantes du rendement total du portefeuille. L’objectif sera donc d’avoir une covariance minimale entre les valeurs présentes en portefeuille.

Les travaux de Markowitz ont donc abouti à une solution générale au problème de maximisation du rendement et de minimisation du risque. Bien que la finance comportementale dénonce cette théorie puisqu’elle part du principe que les marchés financiers sont efficients et que les investisseurs agissent de manière rationnelle, cette théorie est une référence en gestion d’actifs. Celle-ci va permettre d’identifier plusieurs profils de portefeuilles qui pour un rendement donné vont présenter le risque minimal ou inversement qui pour un risque donné vont présenter le rendement maximal. Ces portefeuilles seront dits efficients ou optimaux.

 

Ainsi, le rendement total d’un portefeuille d’actifs sera égal à la somme des rendements individuels de chaque actif en appliquant une pondération selon leur poids.

La formule du rendement d’un portefeuille est donc :

Formule rendement total portefeuille actifs financiers

Prenons l’exemple suivant : soit les titres A et B qui ont les caractéristiques suivantes :

–          Rendement (A) = 12%                    Poids de du titre A dans le portefeuille : 60%

–          Rendement (B) = 15%                    Poids de du titre B dans le portefeuille : 40%

 

Le rendement attendu du portefeuille sera donc égal à : E (R ) = (12%*60%) + (15%*40%)

           E (R ) = 13,2%

 

De son côté, le risque total d’un portefeuille d’actifs ne va pas être égal à la somme des risques individuels de chaque actif.

En effet, sa formule est la suivante :

Formule risque total portefeuille actifs financiers

 

Plus concrètement, il faut calculer la covariance qu’il y a entres actifs, deux à deux et la multiplier par le poids de chacun des deux actifs dans le portefeuille. Enfin pour avoir le risque total du portefeuille, il faudra cumuler l’ensemble des résultats obtenus. Le plus simple reste donc de présenter ces calculs dans ce que l’on appelle une matrice de variances-covariances.

 

Prenons l’exemple suivant : soit les titres A et B pour lesquels nous avons les données suivantes :

–          Variance (A) : 0,002

–          Variance  (B) : 0,004

–          Covariance (A, B) : 0,0004       avec les pondérations suivantes A (60%) et B (40%).

 

La matrice de variances-covariances sera la suivante :

matrice variance covariance

La variance du portefeuille est donc égale à 0,001552 et son écart-type égal à 0,039395.

 

Ainsi, à partir de la variance attendue et du poids de chaque titre qui compose un portefeuille, nous pouvons obtenir la variance totale du portefeuille et au final son écart-type (qui va correspondre à sa volatilité attendue). Voyons maintenant concrètement comment un gérant va décider du portefeuille à constituer en s’intéressant à deux concepts majeurs :

 

1- La frontière efficiente

2- Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)